Question

（1998•寧波）如圖，已知平行四邊形DEFG與正方形ABCD有一個公共頂點D，G在CB或其延長線上，A在EF所在直線上，又二次函數y=（m-1）x²-（m-2）x-1（m＞0）與x軸的兩個交點P、Q的橫坐標分別為x₁，x₂，且x₁＞0，x₂＞0，正方形ABCD的邊長a等于點P，Q間的距離．
（1）求m的取值范圍；
（2）求a和四邊形DEFG的面積S；
（3）若DEFG的一組鄰邊長分別等于x₁，x₂，并設，求sin∠E和k．
（（2），（3）的結果都用含m的代數式表示）

Answer 1

【答案】分析：（1）由于x₁，x₂均為正數因此x₁•x₂＞0，由此可求出m的取值范圍；
（2）可根據拋物線的解析式求出x₁，x₂的值，即可得出PQ的距離即a的值，求四邊形DEFG的面積就要知道底邊和高的值，可過A作CD的垂線設垂足為M，那么不難得出△ADM∽△DGC，由此可證得GD•AM的值正好是正方形邊長的平方，即平行四邊形的面積和正方形的面積相等，由此可求出S的值；
（3）求sin∠E可通過構建直角三角形來解，過D作DN⊥EF于N，那么在直角三角形DEN中，sin∠E=，而DN可用正方形的面積
除以EF求得，因此∠E的正弦值就等于正方形的面積（即平行四邊形的面積）除以EF與DE的積，正方形的面積已經求得，而DE與
EF的積可在（2）也可得出，據此可求出∠E的正弦值，可根據CG和CB的比例關系，用k表示出CG的長，然后在直角三角形CGD中，用勾股定理即可求出k的值．
解答：解：（1）∵二次函數y=（m-1）x²-（m-2）x-1（m＞0）與x軸的兩個交點，
P、Q的橫坐標分別為x₁，x₂，且x₁＞0，x₂＞0，
∴x₁•x₂=-＞0，
解得m＜1，
又∵m＞0，
∴0＜m＜1；

（2）令拋物線中y=0，可得0=（m-1）x²-（m-2）x-1，
解得x=1或x=，
∵0＜m＜1，
∴＞1，
∴a=-1=，
過A作AM⊥GD于M，則有△AMD∽△DCG，
∴，
即AM•GD=a²，
∴S=AM•GD=a²=（）²=；

（3）過D作DN⊥EF于N，則sin∠E=，
∵S=EF•DN=a²，
∴DN=，即sin∠E===，
∵=k，
∴CG=BC•k=，
當DG=1時，在直角三角形CDG中，DG²=DC²+CG²，
即1=+，
解得k=，
當0＜m＜時，k=，
當＜m＜1時，k=，
當DG=時，同理可求得k=，
∴k的值為或．
點評：本題考查了平行四邊形和正方形的性質、圖形面積的求法以及二次函數的應用等知識．綜合性強，難度較大．