Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，雙曲線y＝（k≠0）與直線y＝ax+b（a≠0）交于A，B兩點，直線AB分別交x軸，y軸于C、D兩點，若OA＝OC，A點坐標為（4，3）．

（1）分別求出雙曲線與直線的函數表達式；

（2）若P為雙曲線上一點，且橫坐標為2，H為直線AB上一點，且PH+HC最小，延長PH交x軸于點E，將線段OE沿x軸平移得線段O'E'，在平移過程中，是否存在某個位置使|BO'﹣AE'|的值最大值，求出最大值并求出此時E點坐標．

（3）在（2）的情況下，將直線OA沿線段CE平移，平移過程中交y＝（x＞0）的圖象于M（M與點A不重合）交x軸于點N，在平面內找一點G，使M、N，E，G為頂點的四邊形為矩形？直接寫出G的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值為，點E（2，0）；（3）G（﹣6，6）

【解析】

（1）由OA＝OC，A點坐標為（4，3）可求出C點的坐標，再雙曲線與直線的函數表達式即可；

（2）作PK⊥x軸于K，交AC于H，得到＝，求得HK＝CH，可得E（2，0），再作B關于x軸的對稱點B'，B'N∥OE，B'N＝OE，連接AN交x軸于E'，截取E'O'＝OE，則B'N∥E'O'，B'N＝E'O'，得到|BO'﹣AE'|＝|E'N'﹣AE'|＝AE'﹣E'N＝AN,再求最大值即可；

（3）設平移后的解析式為y＝x+b，當直線經過點P（2，6）時，可得矩形MEGN，再求點G坐標即可.

解：

（1）∵OA＝OC，A點坐標為（4，3），

∴OC＝5，

∴C（﹣5，0），

將點A（4，3）代入y＝可得k＝12，

∴y＝，

將點A（4，3）和C（﹣5，0）代入y＝ax+b，可得a＝，b＝，

∴y＝x+；

（2）由已知可得，P（2，6），D（0，），作PK⊥x軸于K，交AC于H，

∵HK∥OD，

∴＝，

∴CD＝＝＝

，

∴＝，

∴HK＝CH，

∴PH+CH＝PH+HK＝PK，此時PH+HC為最小，

∴E與K重合，

∴E（2，0），

如圖1中，作B關于x軸的對稱點B'，B'N∥OE，B'N＝OE，連接AN交x軸于E'，

截取E'O'＝OE，則B'N∥E'O'，B'N＝E'O'，

∴四邊形B'O'E'N是平行四邊形，

∴NE'＝O'B'＝O'B，

∴|BO'﹣AE'|＝|E'N'﹣AE'|＝AE'﹣E'N＝AN,最大；

∵B（﹣9，﹣），

∴B'（﹣9，），

∴N（﹣7，），

∴AN＝＝，

∴|BO'﹣AE'|的最大值為，點E（2，0）．

（3）如圖3中，

∵直線OA的解析式為y＝x，

∴平移后的解析式為y＝x+b，

當直線經過點P（2，6）時，可得矩形MEGN，

∴6＝+b，

∴b＝，

∴平移后的直線的解析式為y＝x+，

令y＝0，可得x＝﹣6，

∴G（﹣6，6）．