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(2010•盧灣區二模)如圖,正方形ABCD中,E是AD邊上一點,且BE=CE,BE與對角線AC交于點F,連接DF,交EC于點G.
(1)求證:∠ABF=∠ADF;
(2)求證:DF⊥EC.

【答案】分析:(1)根據正方形的性質及SAS定理可求出△DAF≌△BAF,再根據相似三角形的性質即可解答;
(2)先根據HL定理求出△DAF≌△BAF,∠AEB=∠DEC,再根據(1)的結論可求出∠ADF+∠DEC=90°,即DF⊥EC.
解答:證明:(1)∵四邊形ABCD為正方形,
∠BAC=∠DAC,AB=AD,
又∵AF=AF,
∴△DAF≌△BAF,
∴∠ADF=∠ABF;

(2)Rt△ABE和Rt△CDE中,
BE=CE,AB=CD,
Rt△ABE≌Rt△CDE,
∠AEB=∠DEC,
由(1)知,
∠ABE=∠ADF,
∠ABE+∠AEB=90°,
∠ADF+∠DEC=90°,
∠DGE=180°-90°=90°,
DF⊥EC.
點評:本題考查的是正方形的性質及全等三角形的判定定理及性質,注意在正方形中的特殊三角形的應用,判斷直角三角形全等的HL定理,難度適中.
練習冊系列答案
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(1)經過思考,小明認為可以通過添加輔助線--過點O作OM⊥BC,垂足為M求解.你認為這個想法可行嗎?請寫出問題1的答案及相應的推導過程;
(2)如果將問題1中的條件“四邊形ABCD是正方形,BC=1”改為“四邊形ABCD是平行四邊形,BC=3,CD=2,”其余條件不變(如圖2),請直接寫出條件改變后的函數解析式;
(3)如果將問題1中的條件“四邊形ABCD是正方形,BC=1”進一步改為:“四邊形ABCD是梯形,AD∥BC,BC=a,CD=b,AD=c(其中a,b,c為常量)”其余條件不變(如圖3),請你寫出條件再次改變后y關于x的函數解析式以及相應的推導過程.

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(1)連接AC,求∠CAM的正弦值;
(2)求OC的長.

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