Question

（2010•盧灣區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（1，3），B（0，1）．
（1）求拋物線的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)C，
①求△ABC的面積；
②在y軸上取一點(diǎn)P，使△ABP與△ABC相似，求滿足條件的所有P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A（1，3），B（0，1），代入，即可得出答案；
（2）①由對稱性得C（4，3），根據(jù)三角形面積公式即可求解；
②將直線AC與y軸交點(diǎn)記作D，由，∠CDB為公共角，可得△ABD∽△BCD．從而∠ABD=∠BCD．分1°當(dāng)∠PAB=∠ABC時(shí)，2°當(dāng)∠PAB=∠BAC時(shí)兩種情況討論即可得出答案．
解答：解：（1）將A（1，3），B（0，1），代入，
解得，c=1．
∴拋物線的解析式為．
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為．

（2）①由對稱性得C（4，3）．
∴S_△ABC=|3-1|•|4-1|=3．
②將直線AC與y軸交點(diǎn)記作D，
∵，∠CDB為公共角，
∴△ABD∽△BCD．
∴∠ABD=∠BCD．
1°當(dāng)∠PAB=∠ABC時(shí)，，
∵，
，AC=3
∴，
∴．
2°當(dāng)∠PAB=∠BAC時(shí)，，
∴，
∴，
∴．
綜上所述滿足條件的P點(diǎn)有，．
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)綜合題，難度適中，關(guān)鍵是掌握分類討論的思想解題．