Question

已知三個關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0，bx²+cx+a=0，cx²+ax+b=0恰有一個公共實數根，求

a2

bc

+

b2

ca

+

c2

ab

的值．

Answer 1

分析：設三個關于x的一元二次方程的公共實數根為t，根據一元二次方程的解的意義得到at²+bt+c=0①，bt²+ct+a=0②，ct²+at+b=0③，然后把①+②+③得（a+b+c）t²+（a+b+c）t+（a+b+c）=0，而t²+t+1=（t+

1

2

）²+

3

4

＞0，所以只有a+b+c=0，即a+b=-c；再把所求的分式通分得到

a3+b3+c3

abc

，接著把a³+b³用立方和公式分解，然后用-c代換a+b，原分式約分后把a²+b²配方，再用-c代換a+b，最后進行約分即可得到原分式的值．

解答：解：設三個關于x的一元二次方程的公共實數根為t，
則at²+bt+c=0①，bt²+ct+a=0②，ct²+at+b=0③，
①+②+③得（a+b+c）t²+（a+b+c）t+（a+b+c）=0，
∴（a+b+c）（t²+t+1）=0，
而t²+t+1=（t+

1

2

）²+

3

4

，
∵（t+

1

2

）²≥0，
∴t²+t+1＞0，
∴a+b+c=0，
∴a+b=-c，
原式=

a3+b3+c3

abc

=

(a+b)(a2-ab+b2)+c3

abc

=

-c(a2-ab+b2)+c3

abc

=

c2-(a2-ab+b2)

ab

=

c2-[(a+b) 2-3ab]

ab

=

c2-c2+3ab

ab

=3．

點評：本題考查了一元二次方程的解：使一元二次方程左右兩邊成立的未知數的值叫一元二次的解．也考查了分式的化簡求值．