Question

已知三個(gè)關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c=0，bx²+cx+a=0，cx²+ax+b=0恰有一個(gè)公共實(shí)數(shù)根，則

a2

bc

+

b2

ca

+

c2

ab

的值為（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：設(shè)三個(gè)方程的公共根為x₀，代入三個(gè)方程得到a，b，c的關(guān)系，然后代入代數(shù)式求出代數(shù)式的值．

解答：解：x₀是它們的一個(gè)公共實(shí)數(shù)根，
則ax₀²+bx₀+c=0，bx₀²+cx₀+a=0，cx₀²+ax₀+b=0．
把上面三個(gè)式子相加，并整理得
（a+b+c）（x₀²+x₀+1）=0．
因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

x

2 0

+x0+1=(x0+

1

2

)2+

3

4

＞0，
所以a+b+c=0．
于是

a2

bc

+

b2

ca

+

c2

ab

=

a3+b3+c3

abc

=

a3+b3-(a+b)3

abc

=

-3ab(a+b)

abc

=3
故本題選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一元二次方程的公共解，一般是設(shè)公共解，代入方程，確定a，b，c的值，然后求出代數(shù)式的值．