Question

17．如圖，點G是△ABC的重心，過G作GE∥AB，交BC于E，GF∥AC，交BC于F，則S_△GEF：S_△ABC=1：9．

Answer 1

分析 連結AG，并延長交BC于H，如圖，根據三角形重心的性質得到HG=$\frac{1}{2}$AG，則HG=$\frac{1}{3}$HA，再由EG∥AB得到△HGE∽△HAB，根據相似三角形的性質得$\frac{GE}{AB}$=$\frac{HG}{HA}$=$\frac{1}{3}$，接著證明△GEF∽△ABC，然后利用相似三角形的性質求$\frac{{S}_{△GEF}}{{S}_{△ABC}}$的值．

解答 解：連結AG，并延長交BC于H，如圖，
∵點G是△ABC的重心，
∴HG=$\frac{1}{2}$AG，
∴HG=$\frac{1}{3}$HA，
∵EG∥AB，
∴△HGE∽△HAB，
∴$\frac{GE}{AB}$=$\frac{HG}{HA}$=$\frac{1}{3}$，
∵EG∥AB，GF∥AC，
∴∠GEF=∠B，∠GFE=∠C，
∴△GEF∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△GEF}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{GE}{AB}$）²=（$\frac{1}{3}$）²=$\frac{1}{9}$．
故答案為1：9．

點評 本題考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三邊中線的交點；重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1．也考查了相似三角形的判定與性質．