Question

如圖，已知AC是⊙O的直徑，MA，MB分別切⊙O于點A，B．
（1）如圖1，若∠BAC=25°，求∠AMB的大小；
（2）如圖2，過點B作BD⊥AC，交AC于點E，交⊙O于點D，連接AD，若BD=AM=2．
①求∠AMB的大小；
②圖中陰影部分的面積為______．

Answer 1

解：（1）∵MA切⊙O于點A，
∴CA⊥AM，
∴∠MAC=90°，
∵∠BAC=25°，
∴∠MAB=90°-25°=65°，
∵MA，MB分別切⊙O于點A，B，
∴MA=MB，
∴∠MAB=∠MBA=65°，
∴∠AMB=180°-（∠MAB+∠MBA）=50°；

（2）①∵MA⊥AC，BD⊥AC，
∴MA∥BD，
∵MA=BD，
∴四邊形MADB是平行四邊形，
∵MA=MB，
∴?MADB是菱形，
∵AC是⊙O的直徑，BD⊥AC，
∴BE=DE，
在Rt△AED中，cos∠ADE==，
∴∠ADE=60°，
在菱形MADB中，∠AMB=∠ADE=60°；
②連接OD，
∵∠ADE=60°，AE⊥BD，
∴∠DAE=30°，
∴∠EOD=60°，
∴∠AOD=120°，
∵DE=BD=，AD=BD=2，
∴AE==3，OD==2，
∴S_陰影=S_扇形AOD-S_△AOD=-×2×=π-．
故答案為：π-．
分析：（1）由MA，MB分別切⊙O于點A，B，易得MA=MB，∠MAC=90°，繼而求得∠MAB=∠MBA=65°，則可求得∠AMB的大小；
（2）①易證得四邊形MADB是菱形，然后由特殊角的三角函數值，求得∠D的度數，繼而求得∠AMB的大小；
②首先連接OD，求得∠AOD的度數，OA的長，繼而求得答案．
點評：此題考查了切線的性質、切線長定理、勾股定理、垂徑定理、菱形的判定與性質以及特殊角的三角函數問題．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．