Question

如圖，已知AC是⊙O的弦，AB為⊙0的直徑，點D在AB的延長線上，∠A=∠D=30°
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）當BD=5時，求⊙O的半徑長．

Answer 1

（1）證明：連接OC，
∵∠A=30°，
∴∠COD=2∠A=2×30°=60°，
∵∠D=30°，
∴∠OCD=180°-60°-30°=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC是○O的半徑．
∴CD是⊙O的切線；

（2）解：由（1）得：∠OCD=90°，
在直角△OCD中，
∵∠D=30°，
∴OD=2OC，
∵OC=OB，
∴OD=2OB，
∴OB=BD=5，
∴⊙O的半徑是5．
分析：（1）連接OC，根據三角形的內角和與外角的性質，證得∠OCD=90°，即可證得CD是圓的切線；
（2）根據直角三角形有一個角是30度，30度的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可證得OB=BD．
點評：本題主要考查了切線的判定定理，以及直角三角形的性質，證明切線常用的方法是根據切線的判定定理轉化為證明垂直關系．