Question

如圖，已知AC是⊙O的直徑，MA，MB分別切⊙O于點(diǎn)A，B．
（1）如圖1，若∠BAC=25°，求∠AMB的大��；
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，交AC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D，連接AD，若BD=AM=2

3

．
①求∠AMB的大��；
②圖中陰影部分的面積為

4

3

π-

3

．

Answer 1

分析：（1）由MA，MB分別切⊙O于點(diǎn)A，B，易得MA=MB，∠MAC=90°，繼而求得∠MAB=∠MBA=65°，則可求得∠AMB的大�。�
（2）①易證得四邊形MADB是菱形，然后由特殊角的三角函數(shù)值，求得∠D的度數(shù)，繼而求得∠AMB的大��；
②首先連接OD，求得∠AOD的度數(shù)，OA的長(zhǎng)，繼而求得答案．

解答：解：（1）∵M(jìn)A切⊙O于點(diǎn)A，
∴CA⊥AM，
∴∠MAC=90°，
∵∠BAC=25°，
∴∠MAB=90°-25°=65°，
∵M(jìn)A，MB分別切⊙O于點(diǎn)A，B，
∴MA=MB，
∴∠MAB=∠MBA=65°，
∴∠AMB=180°-（∠MAB+∠MBA）=50°；

（2）①∵M(jìn)A⊥AC，BD⊥AC，
∴MA∥BD，
∵M(jìn)A=BD，
∴四邊形MADB是平行四邊形，
∵M(jìn)A=MB，
∴?MADB是菱形，
∵AC是⊙O的直徑，BD⊥AC，
∴BE=DE，
在Rt△AED中，cos∠ADE=

DE

AD

=

1

2

，
∴∠ADE=60°，
在菱形MADB中，∠AMB=∠ADE=60°；
②連接OD，
∵∠ADE=60°，AE⊥BD，
∴∠DAE=30°，
∴∠EOD=60°，
∴∠AOD=120°，
∵DE=

1

2

BD=

3

，AD=BD=2

3

，
∴AE=

AD2-DE2

=3，OD=

DE

sin60°

=2，
∴S_陰影=S_扇形AOD-S_△AOD=

120π×22

360

-

1

2

×2×

3

=

4

3

π-

3

．
故答案為：

4

3

π-

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理、勾股定理、垂徑定理、菱形的判定與性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)問(wèn)題．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．