Question

4．一個正方形紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；拿出其中一部分，再沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；又從得到的三部分中拿出其中之一，還是沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分…如此下去，最后得到了34個六十二邊形和一些多邊形紙片，則至少要剪的刀數(shù)是（　�。�

• A． 2004
• B． 2005
• C． 2006
• D． 2007

Answer 1

分析 根據(jù)題意，用剪刀沿不過頂點的直線剪成兩部分時，每剪開一次，使得各部分的內(nèi)角和增加360°．于是，剪過k次后，可得（k+1）個多邊形，這些多邊形的內(nèi)角和為（k+1）×360°．因為這（k+1）個多邊形中有34個六十二邊形，可求它們的內(nèi)角和，其余多邊形有（k+1）-34=k-33（個），而這些多邊形的內(nèi)角和不少于（k-33）×180°．可得方程（k+1）×360°≥34×60×180°+（k-33）×180°，求得k≥2005．當(dāng)我們按如下的方式剪2005刀時，可以得到符合條件的結(jié)論．先從正方形上剪下1個三角形，得到1個三角形和1個五邊形；再在五邊形上剪下1個三角形，得到2個三角形和1個六邊形如此下去，剪了58刀后，得到58個三角形和1個六十二邊形．再取出33個三角形，在每個三角形上剪一刀，又可得到33個三角形和33個四邊形，對這33個四邊形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到33個六十二邊形和33×58個三角形．從而求解．

解答 解：根據(jù)題意，用剪刀沿不過頂點的直線剪成兩部分時，每剪開一次，使得各部分的內(nèi)角和增加360°．
于是，剪過k次后，可得（k+1）個多邊形，這些多邊形的內(nèi)角和為（k+1）×360°．
因為這（k+1）個多邊形中有34個六十二邊形，它們的內(nèi)角和為34×（62-2）×180°=34×60×180°，
其余多邊形有（k+1）-34=k-33（個），而這些多邊形的內(nèi)角和不少于（k-33）×180°．
所以（k+1）×360°≥34×60×180°+（k-33）×180°，
解得k≥2005．
當(dāng)我們按如下的方式剪2005刀時，可以得到符合條件的結(jié)論．先從正方形上剪下1個三角形，得到1個三角形和1個五邊形；再在五邊形上剪下1個三角形，得到2個三角形和1個六邊形如此下去，剪了58刀后，得到58個三角形和1個六十二邊形．再取出33個三角形，在每個三角形上剪一刀，又可得到33個三角形和33個四邊形，對這33個四邊形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到33個六十二邊形和33×58個三角形．
于是共剪了58+33+33×58=2005（刀）．
故至少要剪的刀數(shù)是2005刀．
故選：B．

點評 此題考查了三角形邊角關(guān)系，關(guān)鍵是理解用剪刀沿不過頂點的直線剪成兩部分時，每剪開一次，使得各部分的內(nèi)角和增加360°．于是，剪過k次后，可得（k+1）個多邊形，這些多邊形的內(nèi)角和為（k+1）×360°．因為這（k+1）個多邊形中有34個六十二邊形，它們的內(nèi)角和為34×（62-2）×180°=34×60×180°，其余多邊形有（k+1）-34=k-33（個），而這些多邊形的內(nèi)角和不少于（k-33）×180°．