Question

（2005•廣州）如圖，已知正方形ABCD的面積為S．
（1）求作：四邊形A₁B₁C₁D₁，使得點A₁和點A關于點B對稱，點B₁和點B關于點C對稱，點C₁和點C關于點D對稱，點D₁和點D關于點A對稱；（只要求畫出圖形，不要求寫作法）
（2）用S表示（1）中作出的四邊形A₁B₁C₁D₁的面積S₁；
（3）若將已知條件中的正方形改為任意四邊形，面積仍為S，并按（1）的要求作出一個新的四個邊形，面積為S₂，則S₁與S₂是否相等，為什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據對稱的性質可知．使得點A₁和點A關于點B對稱，即是連接AB并延長相同的長度找到對應點A′，其它三點同樣的方法找到對應點，順次連接．
（2）設正方形ABCD的邊長為a，根據兩個正方形邊長的比值，利用面積比等于相似比，來求小正方形的面積．
（3）相等．因為一個四邊形可以分成兩個三角形，根據三角形的面積公式，等底等高的三角形面積相等．
解答：解：（1）如圖①所示．

（2）設正方形ABCD的邊長為a，
則AA₁=2a，S_△AA1D1=•AA₁•AD₁=a²，
同理，S_△BB1A1=S_△CC1B1=S_△DD1C1=a²，
∴S₁=S_△AA1D1+S_△BB1A1+S_△CC1B1+S_△DD1C1+S_{正方形ABCD}=5a²=5S．
（本問也可以先證明四邊形A₁B₁C₁D₁是正方形，再求出其邊長為a，從而算出S_{四邊形A1B1C1D1}=5S）

（3）S₁=S₂
理由如下：
首先畫出圖形②，連接BD、BD₁，
∵△BDD₁中，AB是中線，
∴S_△ABD1=S_△ABD．
又∵△AA₁D₁中，BD₁是中線，
∴S_△ABD1=S_△A1BD1
∴S_△AA1D1=2S_△ABD
同理，得S_△CC1B1=2S_△CBD
∴S_△AA1D1+S_△CC1B1=2（S_△ABD+S_△CBD）=2S．
同理，得S_△BA1B1+S_△DD1C1=2S，
∴S₂=S_△AA1D1+S_△BB1A1+S_△CC1B1+S_△DD1C1+S_{四邊形ABCD}=5S．
由（2）得，S₁=5S．
∴S₁=S₂．
點評：本題是一道綜合性很強的題，綜合了軸對稱，正方形的面積，及四邊形，三角形的面積，所以我們學生學知識一定不要機械的學，要會聯系起來．