Question

（2005•廣州）如圖，某學校校園內有一塊形狀為直角梯形的空地ABCD，其中AB∥DC，∠B=90°，AB=100m，BC=80m，CD=40m，現計劃在上面建設一個面積為S的矩形綜合樓PMBN，其中點P在線段AD上，且PM的長至少為36m．
（1）求邊AD的長；
（2）設PA=x（m），求S關于x的函數關系式，并指出自變量x的取值范圍；
（3）若S=3300m²，求PA的長．（精確到0.1m）

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過構建直角三角形進行求解，過D作AB的垂線，那么可在構建的直角三角形中，根據梯形兩底的差和梯形的高，用勾股定理求出AD的長．
（2）可根據（1）中構建的直角三角形求出∠A的正弦和余弦值，然后在直角三角形AMP中，表示出AM，PM的長，進而可根據AB的長，表示出矩形的長BM的值，由此可根據矩形的面積公式得出關于S、x的函數關系式．自變量的取值范圍可根據PM的長至少為36m來解，即讓PM的表達式大于等于36即可．
（3）可將S的值代入（2）所求得的函數解析式中，求出x的值，然后看x的值是否符合自變量的取值范圍．
解答：解：（1）過點D作DE⊥AB于E
則DE∥BC且DE=BC，CD=BE，DE∥PM
Rt△ADE中，DE=80m
∴AE=AB-BE=100-40=60m
∴AD==100m

（2）∵DE∥PM
∴△APM∽△ADE
∴
即
∴PM=x，AM=x
即MB=AB-AM=100-x
S=PM•MB=x•（100-x）=-x²+80x
由PM=x≥36，得x≥45
∴自變量x的取值范圍為45≤x≤100

（3）當S=3300m²時，
80x-x²=3300
12x²-2000x+82500=0
3x²-500x+20625=0

∴x₁=≈91.7（m），x₂==75（m）
即當s=3300m²時，PA的長為75m，或約為91.7m．
點評：本題結合實際問題考查了二次函數的應用，正確的用x表示出矩形的長和寬是解題的關鍵．