Question

惠民中學八年級數學學習興趣小組的同學對“如圖，AD是△ABC的邊BC上的高，添加一個條件使△ABC是等腰三角形”這一問題展開討論：添加∠BAD=∠CAD或BD=CD很容易說明△ABC是等腰三角形．也有同學提出：添加①AB+BD=AC+CD或②AB-BD=AC-CD也能說明△ABC是等腰三角形．我添加的是

①或②

（只能在①、②中選擇一個）
證明：

Answer 1

分析：首先利用勾股定理，可得AB²=BD²+AD²①，AC²=CD²+AD²②，即可得AB²-BD²=AC²-CD²，然后利用平方差公式分解因式可得（AB+BD）（AB-BD）=（AC+CD）（AC-CD），即可得當添加①AB+BD=AC+CD或②AB-BD=AC-CD是都能得到△ABC是等腰三角形．

解答：解：選擇①或②，均可得（2分）．
理由：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD中，∵∠ADB═90°，
∴AB²=BD²+AD²①，
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，
∴AC²=CD²+AD²②，…（5分）
由①-②得：AB²-AC²=BD²-CD²，
∴AB²-BD²=AC²-CD²，
即（AB+BD）（AB-BD）=（AC+CD）（AC-CD），…（8分）
當AB+BD=AC+CD時，必有AB-BD=AC-CD（反之亦然），
則AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．…（10分）
故答案為：①或②．

點評：此題考查了等腰三角形的判定、勾股定理以及平方差公式分解因式的知識．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．