Question

八年級數學學習合作小組在學過《圖形的相似》這一章后，發現可將相似三角形的定義、判定以及性質拓展到矩形、菱形的相似中去．如：我們可以定義：“長和寬之比相等的矩形是相似矩形．”相似矩形也有以下的性質：相似矩形的對角線之比等于相似比，周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方等等．請你參與這個學習小組，一同探索這類問題：
（1）寫出判定菱形相似的一種判定方法：若有一組角對應相等（或兩組對角線對應成比例），則這兩個菱形相似；
（2）如圖，將菱形ABCD沿著直線AC向右平移后得到菱形A′B′C′D′，試證明：四邊形A′FCE是菱形，且菱形ABCD∽菱形A′FCE；
（3）若AC=

2

，菱形A′FCE的面積是菱形ABCD面積的一半，求平移的距離AA′的長．

Answer 1

分析：相似多邊形的面積的比等于相似比的平方，因而已知面積的比，就可以求出邊長的比，求出A′C的長就可以解決．

解答：解：（1）有一組角對應相等（或兩組對角線對應成比例）；（3分）

（2）利用AD∥A′E，AB∥A′F，得∠DAB=∠D′A′B′
再利用（1）的結論，得到證明；（6分）

（3）∵菱形ABCD∽菱形A′FCE，菱形A′FCE的面積是菱形ABCD面積的一半，
∴菱形ABCD與菱形A′FCE的面積比為2：1，
∴對應邊之比為

2

：1，即AC：A′C=

2

：1，（7分）
∵AC=

2

，
∴A′C=1，（9分）
∴AA′=

2

-1．（10分）

點評：本題主要運用了相似多邊形的性質，面積的比等于相似比的平方．