Question

如圖1，已知△ABC中，BC=3，AC=4，AB=5，直線MD是AB的垂直平分線，分別交AB、AC于M、D點．
（1）求線段DC的長度；
（2）如圖2，連接CM，作∠ACB的平分線交DM于N．求證：CM=MN．

Answer 1

（1）如圖，連接BD，∵MD是AB的垂直平分線，
∴AD=BD，
設DC=x，則BD=AD=4-x，
在△ABC中，AC²+BC²=4²+3²=25=AB²，
∴∠C=90°，
在Rt△BCD中，DC²+BC²=BD²，
即x²+3²=（4-x）²，
解得x=

7

8

，
即DC的長為

7

8

；

（2）證明：∵M為AB的中點，△ABC是直角三角形，
∴BM=MC，
∴∠B=∠BCM，
∵CN是∠ACB的平分線，
∴∠BCN=45°，
∴∠B=45°+∠1，
在四邊形BCDM中，∠B+90°+∠MDC+90°=360°，
∴∠MDC+∠B=180°，
在△CDN中，∠MDC+45°+∠2=180°，
∴∠MDC=135°-∠2，
∴135°-∠2+45°+∠1=180°，
∴∠1=∠2，
∴CM=MN．