Question

16．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE∥AC交AB于E，過E作EF⊥AD，垂足為H，并交BC延長線于F．
（1）求證：AE=ED；
（2）請猜想∠B與∠CAF的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）感覺平行線的性質和角平分線的定義即刻得到結論；
（2）根據線段的垂直平分線的性質證明FA=FD，得到∠FAD=∠FDA，根據三角形外角的性質得到∠FDA=∠B+∠BAD，∠FAD=∠FAC+∠CAD，根據等量代換得到答案．

解答 證明：（1）∵DE∥AC，
∴∠EDA=∠DAC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠DAC，
∴∠EAD=∠EDA∴AE=ED；
（2）∠B=∠CAF，
證明：∵AE=ED，EF⊥AD，
∴EF是AD的垂直平分線，
∴FA=FD，
∴∠FAD=∠FDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠FDA=∠B+∠BAD，∠FAD=∠FAC+∠CAD，
∴∠B=∠CAF．

點評 本題考查的是線段的垂直平分線的性質、角平分線的定義和三角形的外角的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．