Question

如圖，在⊙M中，弦AB所對的圓心角為120°，已知圓的半徑為2cm，并建立如圖所示的直角坐標系．
（1）求圓心M的坐標；
（2）點P是⊙M上的一個動點，當△PAB為直角三角形時，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據等腰三角形的性質可知∠AMO=

1

2

∠AMB=60°，由直角三角形的性質可求出M點的坐標；
（2）根據△AOM與△BOM是直角三角形，∠AMO=∠BMO=60°，可求出A、B兩點的坐標，由于AB不經過圓心，故∠APB≠90°，所以應分∠BAP=90°與∠ABP=90°兩種情況進行討論．

解答：解：（1）∵MA=MB，OM⊥AB，∠AMB=120°，
∴∠BMO=

1

2

∠AMB=60°，
∴∠OBM=30°，
∴OM=

1

2

MB=1，
∴M（0，1）；


（2）連接MB，
∵OC=MC-MO=1，OB=

MB2-OM2

=

22-12

=

3

，
∴A（-

3

，0），B（

3

，0），

∵AB不經過圓心，
∴∠APB≠90°，
當∠BAP=90°時，此時PB為⊙M的直徑，如圖1所示，

∵A（-

3

，0），PA⊥AB，

∴直線PA的解析式為x=-

3

；

設直線MB的解析式為y=kx+b（k≠0），

∵M（0，1），B（

3

，0），

∴

b=1 3 k+b=0

，
解得k=-

3

3

，
∴直線MB的解析式為y=-

3

3

x+1，

∴

x=- 3 y=- 3 3 x+1

，
解得

x=- 3 y=2

，

∴P（-

3

，2）；

當∠ABP=90°時，此時PA為⊙M的直徑，如圖2所示，

∵B（

3

，0），PB⊥AB，

∴直線PB的解析式為x=

3

；

設直線MA的解析式為y=kx+b（k≠0），

∵M（0，1），B（-

3

，0），

∴

b=1 - 3 k+b=0

，
解得k=

3

3

，
∴直線MB的解析式為y=

3

3

x+1，

∴

x= 3 y= 3 3 x+1

，
解得

x= 3 y=2

，

∴P（

3

，2）；

綜上所述，P點坐標為：P₁（-

3

，2），P₂（

3

，2）．

點評：本題考查的是圓的綜合題，涉及到用待定系數法求一次函數的解析式、圓周角定理及勾股定理，在解答（2）時要注意進行分類討論．