Question

對面積為1的△ABC逐次進行以下操作：第一次操作，分別延長AB、BC、CA至點A₁、B₁、C₁，使得A₁B=2AB，B₁C=2BC，C₁A=2CA，順次連接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁，記其面積為S₁；第二次操作，分別延長A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁至點A₂、B₂、C₂，使得A₂B₁=2A₁B₁，B₂C₁=2B₁C₁，C₂A₁=2C₁A₁，順次連接A₂、B₂、C₂，得到△A₂B₂C₂，記其面積為S₂；…；按此規律繼續下去，可得到△A_nB_nC_n．
（1）求面積S₁；（2）求面積S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據題意，求得S_△ABC1=2S_△ABC，同理求得S_△A1B1C1=19S_△ABC，則可求得面積S₁的值；
（2）根據題意發現規律：S_n=19ⁿS即可求得答案．
解答：解：連BC₁，
∵C₁A=2CA，
∴S_△ABC1=2S_△ABC，
同理：S_△A1BC1=2S_△ABC1=4S_△ABC，
∴S_△A1AC1=6S_△ABC，
同理：S_△A1BB1=S_△CB1C1=6S_△ABC，
∴S_△A1B1C1=19S_△ABC，
即S₁=19S，
∵S=S_△ABC=1，
∴S₁=19；

（2）同理，S₂=19S₁=19²S，S₃=19³S，
∴S_n=19ⁿS=19ⁿ．
點評：此題考查了三角形面積之間的關系．注意找到規律：S_n=19ⁿS是解此題的關鍵．