Question

閱讀下面資料：
小明遇到這樣一個問題：如圖1，對面積為a的△ABC逐次進行以下操作：分別延長AB、BC、CA至A₁、B₁、C₁，使得A₁B=2AB，B₁C=2BC，C₁A=2CA，順次連接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁，記其面積為S₁，求S₁的值．
小明是這樣思考和解決這個問題的：如圖2，連接A₁C、B₁A、C₁B，因為A₁B=2AB，B₁C=2BC，C₁A=2CA，根據等高兩三角形的面積比等于底之比，所以S△A1BC=S△B1CA=S△C1AB=2S△ABC=2a，由此繼續推理，從而解決了這個問題．

（1）直接寫出S₁=

19a

（用含字母a的式子表示）．
請參考小明同學思考問題的方法，解決下列問題：
（2）如圖3，P為△ABC內一點，連接AP、BP、CP并延長分別交邊BC、AC、AB于點D、E、F，則把△ABC分成六個小三角形，其中四個小三角形面積已在圖上標明，求△ABC的面積．
（3）如圖4，若點P為△ABC的邊AB上的中線CF的中點，求S_△APE與S_△BPF的比值．

Answer 1

分析：（1）首先根據題意，求得S_△ABC1=2S_△ABC，同理求得S_△A1B1C1=19S_△ABC，則可求得面積S₁的值；
（2）根據等高不等底的三角形的面積的比等于底邊的比，求解，從而不難求得△ABC的面積；
（3）設S_△BPF=m，S_△APE=n，依題意，得S_△APF=S_△APC=m，S_△BPC=S_△BPF=m．得出

n

m

=

2

3

，從而求解．

解答：解：（1）S₁=19a；（2分）

（2）過點C作CG⊥BE于點G，
設S_△BPF=x，S_△APE=y，
∵S△BPC=

1

2

BP•CG=70；S△PCE=

1

2

PE•CG=35，
∴

S△BPC

S△PCE

=

1 2 BP•CG

1 2 PE•CG

=

70

35

=2．
∴

BP

EP

=2，即BP=2EP．
同理，

S△APB

S△APE

=

BP

PE

．
∴S_△APB=2S_△APF．
∴x+84=2y．①（3分）
∵

S△APB

S△BPD

=

AP

PD

=

x+84

40

，

S△APC

S△PCD

=

AP

PD

=

y+35

30

，
∴

x+84

40

=

y+35

30

．②
由①②，得

x=56 y=70.

∴S_△ABC=315．

（3）設S_△BPF=m，S_△APE=n，如圖所示．
依題意，得S_△APF=S_△APC=m，S_△BPC=S_△BPF=m．
∴S_△PCE=m-n．
∵

S△APB

S△APE

=

S△BPC

S△PCE

=

BP

PE

，
∴

2m

n

=

m

m-n

．
∴2m（m-n）=mn，
∵m≠0，
∴2m-2n=n．
∴

n

m

=

2

3

．
∴

S△APE

S△BPF

=

2

3

．
故答案為：19a．

點評：此題考查了三角形面積之間的關系．（2）的關鍵是設出未知三角形的面積，然后根據等高不等底的三角形的面積的比等于底邊的比列式求解．