Question

18、如圖，對面積為s的△ABC逐次進行以下操作：
第一次操作，分別延長AB、BC、CA至點A₁、B₁、C₁，使得A₁B=2AB，B₁C=2BC，C₁A=2CA，順次連接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁，記其面積為S₁；
第二次操作，分別延長A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁至點A₂、B₂、C₂，使得A₂B₁=2A₁B₁，B₂C₁=2B₁C₁，B₂C₁=2B₁C₁，順次連接A₂、B₂、C₂，得到△A₂B₂C₂，記其面積為S₂；
…；
按此規律繼續下去，可得到△A_nB_nC_n，則其面積S_n=

19ⁿS

．

Answer 1

分析：連接A₁C，找出延長各邊后得到的三角形是原三角形的19倍的規律，利用規律求延長第n次后的面積．

解答：解：連接A₁C；
△AA₁C=3△ABC=3，
△AA₁C₁=2△AA₁C=6，
所以△A₁B₁C₁=6×3+1=19；
同理得△A₂B₂C₂=19×19=361；
△A₃B₃C₃=361×19=6859，
△A₄B₄C₄=6859×19=130321，
△A₅B₅C₅=130321×19=2476099，
從中可以得出一個規律，延長各邊后得到的三角形是原三角形的19倍，所以延長第n次后，得到△A_nB_nC_n，則其面積S_n=19ⁿ•S．

點評：本題的關鍵是作輔助線，連接A₁C，找出延長各邊后得到的三角形是原三角形的19倍的規律，利用規律求延長第n次后的面積．