Question

17、如圖，對面積為1的△ABC逐次進行以下操作：第一次操作，分別延長AB，BC，CA至點A₁，B₁，C₁，使得A₁B=2AB，B₁C=2BC，C₁A=2CA，順次連接A₁，B₁，C₁，得到△A₁B₁C₁，記其面積為S₁；第二次操作，分別延長A₁B₁，B₁C₁，C₁A₁至點A₂，B₂，C₂，使得A₂B₁=2A₁B₁，B₂C₁=2B₁C₁，C₂A₁=2C₁A₁，順次連接A₂，B₂，C₂，得到△A₂B₂C₂，記其面積為S₂；…；按此規律繼續下去，可得到△A₅B₅C₅，則其面積S₅=

19⁵

．

Answer 1

分析：根據高的比等于面積比推理出△A₁B₁C的面積是△A₁BC面積的2倍，則△A₁B₁B的面積是是△A₁BC面積的3倍…，以此類推，得出△A₂B₂C₂的面積．

解答：解：連接A₁C，根據A₁B=2AB，得到：AB：A₁A=1：3，
因而若過點B，A₁作△ABC與△AA₁C的AC邊上的高，則高線的比是1：3，
因而面積的比是1：3，則△A₁BC的面積是△ABC的面積的2倍，
設△ABC的面積是a，則△A₁BC的面積是2a，
同理可以得到△A₁B₁C的面積是△A₁BC面積的2倍，是4a，
則△A₁B₁B的面積是6a，
同理△B₁C₁C和△A₁C₁A的面積都是6a，
△A₁B₁C₁的面積是19a，
即△A₁B₁C₁的面積是△ABC的面積的19倍，
同理△A₂B₂C₂的面積是△A₁B₁C₁的面積的19倍，
即△A₁B₁C₁的面積是19，△A₂B₂C₂的面積19²，
依此類推，△A₅B₅C₅的面積是S₅=19⁵=2476099．

點評：正確判斷相鄰的兩個三角形面積之間的關系是解決本題的關鍵，本題的難度較大．