Question

已知：⊙O是△ABC的外接圓，AB為⊙O的直徑，弦CD交AB于E，∠BCD=∠BAC．
（1）求證：AC=AD；
（2）過點C作直線CF，交AB的延長線于點F，若∠BCF=30°，則結論“CF一定是⊙O的切線”是否正確？若正確，請證明；若不正確，請舉反例．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AD．根據∠BCD=∠BAC，∠CBE=∠ABC，證出△CBE∽△ABC，可得∠BEC=90°，于是∠D=∠CBA=∠ACD，故AC=AD．
（2）連接OC，不正確，可令∠CAB=20°，據此推出∠OCF≠90°，從而證出∠BCF=30°時“CF不一定是⊙O的切線”．
解答：證明：（1）連接AD，
∵∠BCD=∠BAC，∠CBE=∠ABC，
∴△CBE∽△ABC，
∴∠BEC=∠BCA=90°，
∴∠CBA=∠ECA，
又∵∠D=∠ABC，
∴∠D=∠ACD，
∴AC=AD．

（2）連接OC，令∠CAB=20°，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAB=20°，
∴∠COB=20°+20°=40°，
∴∠OCB=（180°-40°）=70°，
∴∠FCO=∠FCB+∠OCB=70°+30°=100°，
故此時FC不是⊙O的切線．
同理，當∠CAB=50°時，FC不一定是⊙O的切線．
點評：本題考查了切線的判定、垂徑定理、圓周角定理，作出輔助線OC、AD是解題的關鍵．