Question

平面直角坐標系中，原點O是正三角形ABC外接圓的圓心，點A在軸的正半軸上，△ABC的邊長為6．以原點O為旋轉中心將△ABC沿逆時針方向旋轉角，得到△，點、、分別為點A、B、C的對應點．

（1）當=60時，
①請在圖1中畫出△；
②若AB分別與、交于點D、E，則DE的長為_______；
（2）如圖2，當⊥AB時，分別與AB、BC交于點F、G，則點的坐標為         _____，△FBG的周長為_____，△ABC與△重疊部分的面積為_______．

Answer 1

（1）由旋轉角，對應點可畫出圖像，（2）DE="2" (3)A′(-,3) △FBG的周長6，重疊的面積27-9

解析試題分析：（1）∵在平面直角坐標系XOY中，△ABC是⊙O的外接圓，經中心O旋轉60°后，得到△A′B′C′把⊙0平均分成了六份，六個頂點能構成內接正六邊形∴各邊的交點又構成小的正六邊形，∴AB與A′B′的交點為三等份的點，從而得到DE=×6=2，（2）∵點O是三角形四心重合的點，AB⊥A’B’.可得A’B’ ⊥x軸，在△ABC中可易求OA=2。∴OA’=2由O,A’與x 軸組成的三角形是特殊的三角形，即30°,60°90°∴A’(-,3) ∵BF=A’F, ∴△FBG的周長="AB的邊長=6." （3）設BG為x,則FG為x,BF為2x. ∴x+x+2x="6" ∴x=(3-)∴ △ABC的面積-三倍△BFG的面積=重疊的面積=×6×3-×3×（3-）×（3-）=27-9.解：（1）①如圖所示.

……………………………………1分
②DE的長為 2 ；  ………………………………2分
（2）點的坐標為，△FBG的周長為  6 ，
△ABC與△重疊部分的面積為．
…………………………………5分
閱卷說明：第（2）問每空1分.
考點：等邊三角形的內心定義，旋轉圖形的性質，三角形外接圓的性質，及直角三角形的性質。
點評：本題有一定的難度，關鍵熟悉幾個公式的應用，由于圓心就是三角形的內心，從而得到特殊角的度數在Rt三角形中，30°所對的直角邊是斜邊的一半，列出方程求出邊長，再有重疊的面積=三角形的面-三個全等的小三角形的面積。注意的是，旋轉后得到六個全等的三角形。中檔題，有一定的難度，計算量較大易出錯。