Question

如圖，圓在正方形的內(nèi)部沿著正方形的四條邊運(yùn)動(dòng)一周，并且始終保持與正方形的邊相切．
（1）在圖中，把圓運(yùn)動(dòng)一周覆蓋正方形的區(qū)域用陰影表示出來(lái)；
（2）當(dāng)圓的直徑等于正方形的邊長(zhǎng)一半時(shí)，該圓運(yùn)動(dòng)一周覆蓋正方形的區(qū)域的面積是否最大？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）本題要先求出覆蓋面積與圓的半徑的函數(shù)關(guān)系式，圓在正方形中運(yùn)動(dòng)時(shí)覆蓋的部分如圖所示，中間正方形的面積易求得，而大正方形四角的面積可用以圓的直徑為邊長(zhǎng)的小正方形的面積-一個(gè)圓的面積來(lái)求得．
（2）設(shè)出正方形的邊長(zhǎng)和圓的半徑，根據(jù)上面得出面積求法可得出關(guān)于覆蓋部分面積和圓半徑的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷出當(dāng)圓的直徑等于正方形的邊長(zhǎng)一半時(shí)，該圓運(yùn)動(dòng)一周覆蓋正方形的區(qū)域的面積是否最大．

解答：解：（1）圓運(yùn)動(dòng)一周覆蓋正方形的區(qū)域用陰影表示如下：

（2）圓的直徑等于正方形的邊長(zhǎng)一半時(shí)，覆蓋區(qū)域的面積不是最大，理由如下：
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，圓的半徑為r，覆蓋區(qū)域的面積為s．
∵圓在正方形的內(nèi)部，
∴0＜r≤

a

2

，
由圖可知：S=a²-[（a-4r）²+4r²-πr²]，
=-（20-π）r²+8ar，
=-（20-π）（r-

4a

20-π

）²+

16a2

20-π

，
∵0＜

4a

20-π

＜

a

4

，
∴當(dāng)r=

4a

20-π

時(shí)，S有最大值，
∵

4a

20-π

≠

a

4

，
∴圓的直徑等于正方形的邊長(zhǎng)一半時(shí)，面積不是最大．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正方形和圓的性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用、圖形面積的求法等知識(shí)．