Question

問題探究

（1）請在圖①中作出兩條直線，使它們將圓面四等分；

（2）如圖②，M是正方形ABCD內一定點，請在圖②中作出兩條直線（要求其中一條直線必須過點M），使它們將正方形ABCD的面積四等分，并說明理由.

問題解決

（3）如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，點P是AD的中點，如果AB=，CD=，且，那么在邊BC上是否存在一點Q，使PQ所在直線將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分？若存在，求出BQ的長；若不存在，說明理由.

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）如圖①所示：

圖①

（2）如圖②，連接AC、BD相交于點O，作直線OM分別交AD、BC于P、Q兩點，過點O作用OM的垂線分別交AB、CD于E、F兩點，則直線OM、EF將正方形ABCD的面積四等分。

圖②

理由如下：

∵點O是正方形ABCD對角線的交點，∴點O是正方形ABCD的對稱中心。

∴AP=CQ，EB=DF。

在△AOP和△EOB中，

∵∠AOP=90°-∠AOE，∠BOE=90°-∠AOE，∴∠AOP=∠BOE。

∵OA=OB，∠OAP=∠EBO=45°，∴△AOP≌△EOB（ASA）。∴AP=BE=DF=CQ 。∴AE=BQ=CF=PD。

設點O到正方形ABCD一邊的距離為。

∴

∴。

∴直線EF、PQ將正方形ABCD面積四等分。

 （3）存在。當BQ=CD=時，PQ將四邊形ABCD面積二等分。

理由如下：

如圖③，延長BA至點E，使AE=，延長CD至點F，使DF=，連接EF。

圖③

∴BE∥CF，BE=CF。 ∴四邊形BCFE為平行四邊形。

∵BC=BE=+，∴平行四邊形DBFE為菱形。

連接BF交AD于點M，則△MAB≌△MDF。

∴AM=DM，即點P、M重合。

∴點P是菱形EBCF對角線的交點。

在BC上截取BQ=CD=，則CQ=AB=。

設點P到菱形EBCF一邊的距離為，

∴。

∴當BQ=時，直線PQ將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分。

【解析】（1）圓內兩條互相垂直的直徑即達到目的。

（2）連接AC、BD相交于點O，作直線OM分別交AD、BC于P、Q兩點，過點O作用OM的垂線分別交AB、CD于E、F兩點，則直線OM、EF將正方形ABCD的面積四等分。可應用△AOP≌△EOB得出結論。

（3）把原圖補充成菱形，應用菱形的性質求解。