Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知點，與坐標原點O在同一直線上，且AO=BO，其中m，n滿足．

（1）求點A，B的坐標；

（2）如圖1，若點M，P分別是x軸正半軸和y軸正半軸上的點，點P的縱坐標不等于2，點N在第一象限內，且，PA⊥PN，，求證：BM⊥MN；

（3）如圖2，作AC⊥y軸于點C，AD⊥x軸于點D，在CA延長線上取一點E，使，連結BE交AD于點F，恰好有，點G是CB上一點，且，連結FG，求證：．

Answer 1

【答案】（1）A點坐標為（-1,1）,B點坐標為（1，-1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

（1）將關于m、n的關系式進行變形，成為連個完全平方式的和，解出m和n的值，即可得到A、B的坐標.

（2）求證兩線段垂直，可以通過將兩直線所成的角進行拆分，然后計算各個角相加的和，本題通過在x軸負半軸取點Q，OQ=OM,連接QA,QP,PM,然后根據題干中條件和輔助線條件求證 △PQA≌△PMN，得出PQ=PM，再繼續求證△PQA≌△PMN，得到△QPM為等腰直角三角形，得出角PQM=45°，再根據等量代換，求∠NMP、∠OMB、∠QMP之和即可.

（3）要求證，只需證兩邊所在三角形全等即可，即求證△EFH≌△FBG.根據點的坐標特征和等量代換關系得出,然后求證，根據三角形全等的性質得到和等量代換得到∠FBG=∠EHF，最后根據三角形全等的判定方法證明△EFH≌△FBG即可解決.

（1）解：∵

∴

即

∴

解得：

∵，

∴A點坐標為（-1,1）,B點坐標為（1，-1）

（2）證明：

如圖，在x軸負半軸取點Q，OQ=OM,連接QA,QP,PM,

∵AO=BO,∠AOQ=∠BOM

∴△AOQ≌△BOM（SAS）

∠AQO=∠BMO

∴AQ=BM=MN,

又∵OQ=OM,PO⊥QM

∴PQ=PM,

又∵PA=PN

∴△PQA≌△PMN（SSS）

∴∠QPA=∠MPN，∠PQA=∠PMN

∴∠QPA+∠APM=∠MPN+∠APM=90°

∴△QPM為等腰直角三角形

∴∠PMQ=∠PQM=45°，

∵∠PQA=∠NMP，∠AQO=∠OMB

∴∠PQA+∠AQO=∠NMP+∠OMB=∠PQM=45°

∴∠NMP+∠OMB+∠QMP=90°.

∴BM⊥MN

（3）證明：過B作BH⊥AF交AF延長線于H，連接EH，如圖：

∵點A的坐標為（-1,1），點B的坐標為（1，-1）

∴H點的坐標為（-1，-1）

∴

又∵CG=1，

∵AC⊥y軸，AD⊥x軸，BH⊥AH

∴∠FHB=∠EAH，

∠EHA=∠FBH

∵AE=BG,AC=CG，

∴CE=CB

∴∠CEB=∠CBE

又∵∠HBE=∠CEB

∴∠HBE=∠EBC

∴∠FBG=∠EHF

在△EFH和△FBG中

∴△EFH≌△FBG