Question

7．如圖，點(diǎn)P是等邊△ABC外一點(diǎn)，PA=3，PB=4，PC=5
（1）將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△P₁AC₁，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形；
（2）在（1）的圖形中，求∠APB的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△P₁AC₁如圖所示．
（2）只要證明△APP₁是等邊三角形，由PB²+PP₁²=P₁B²，推出∠P₁PB=90°，即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△P₁AC₁，如圖所示，

 
（2）∵△AP₁C₁是由△APC旋轉(zhuǎn)所得，
∴△AP₁C₁≌△APC，
∴P₁C₁=PC=5，AP=AP₁=3，∠PAP₁=60°，
∴△APP₁是等邊三角形，
∴PP₁=AP=3，∠APP₁=60°，
∵PB=4，P₁B=5，PP₁=3，
∴PB²+PP₁²=P₁B²，
∴∠P₁PB=90°
∴∠APB=∠BPP₁-∠APP₁=30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)變換添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考常考題型．