Question

20．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分別為D，E，AD與BE相交于點F．
（1）求證：△ACD∽△BFD；
（2）當$\frac{AD}{BD}$=1，AC=3時，求BF的長．

Answer 1

分析 （1）只要證明∠DBF=∠DAC，即可判斷．
（2）利用相似三角形的性質即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖，∵AD⊥BC，BE⊥AC
∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°
∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°
∴∠DBF=∠DAC
∴△ACD∽△BFD
（2）解：如圖，∵$\frac{AD}{BD}$=1，△ACD∽△BFD，AC=3，
∴$\frac{AC}{BF}$=$\frac{AD}{BD}$=1，
∴BF=AC=3．

點評 本題考查相似三角形的性質和判定，同角的余角相等，直角三角形兩銳角互余等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形，利用新三角形的性質解決問題，屬于中考常考題型．