Question

如圖，點C是圓O的直徑AB延長線上一點，點D在圓O上，且BC=BD=OB，E是劣弧AD上一點，BE交
AD于F．
（1）求證：CD是圓O的切線；
（2）若△DEF的面積為12，cos∠BFD=，求△ABF的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先連接OD，由BC=BD=OB，即可判定△OBD是等邊三角形，然后利用等邊三角形與等腰三角形的性質，即可求得∠ODB=60°，∠BDC=30°，則可證得CD是圓O的切線；
（2）由AB是⊙O的直徑，可得∠ADB=90°，又由cos∠BFD=，即可得DF：BF=2：3，然后判定△DEF∽△BAF，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得△ABF的面積．
解答：（1）證明：連接OD，
∵BD=OB，OD=OB，
∴△OBD是等邊三角形，
∴∠DBO=∠ODB=60°，
∵BC=BD，
∴∠CDB=∠DCB，
∵∠DBO=∠BDC+∠BCD，
∴∠C=∠CDB=30°，
∴∠ODC=∠ODB+∠BDC=90°，
即OD⊥CD，
∵點D在圓O上，
∴CD是圓O的切線；

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴cos∠BFD==，
∵∠E=∠A，∠EFD=∠AFB，
∴△DEF∽△BAF，
∴，
∵S_△DEF=12，
∴△ABF的面積為27．
點評：此題考查了切線的判定、等邊三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、三角函數的定義以及相似三角形的判定與性質．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是準確作出輔助線，掌握數形結合思想的應用．