Question

已知：A、B、C三點在同一直線上，點M、N分別是線段AC、BC的中點．
（1）如圖，點C是線段AB上一點，
①填空：當AC=8cm，CB=6cm時，則線段MN的長度為

 

cm；
②當AB=acm時，求線段MN的長度，并用一句簡潔的話描述你的發現．

（2）若C為線段AB延長線上的一點，則第（1）題第②小題中的結論是否仍然成立？請你畫出圖形，并說明理由．

Answer 1

分析：本題的解題的關鍵是按利用中點性質轉化線段之間的倍分關系．
（1）①由M、N分別是線段AC、BC的中點可得出MC，NC分別是AC，BC的一半，因此MC與NC的和就是AC與BC和的一半．有AC，BC的值，就能求出MN的長度了；
②方法同①我們發現不論AC，BC的值是什么，MN=

1

2

AB的結論還是一樣的，只不過AC和BC的值換成了AB=a，因此MN=

1

2

a．因此可得出不論AB的取何值，MN的長都是AB的一半．
（2）C是AB延長線上的一點，由M、N分別是線段AC，BC的中點可得出MC，NC分別是AC，BC的一半，因此，MC，NC的差的一半就等于AC，BC差的一半，因為，MN=MC-NC，AB=AC-BC，根據上面的分析可得出MN=

1

2

AB．因此①②的結論是成立的．

解答：解：（1）①MN=MC+CN=

1

2

AC+

1

2

CB=4+3=7；
②∵點M、N分別是線段AC、BC的中點
∴MC=

1

2

AC，CN=

1

2

CB
∴MN=MC+CN=

1

2

AC+

1

2

CB=

1

2

（AC+CB）=

1

2

AB=

1

2

acm
發現：不論線段AB取何值，線段MN的長恒等于線段AB長的一半．

（2）如圖，C為線段AB延長線上的一點，M是線段AC的中點，N是線段BC的中點，
則結論MN=

1

2

AB仍然成立．

理由：∵點M、N分別是線段AC、BC的中點
∴MC=

1

2

AC，CN=

1

2

CB
∴MN=MC-CN=

1

2

AC-

1

2

CB=

1

2

（AC-CB）=

1

2

AB．

點評：利用中點性質轉化線段之間的倍分關系是解題的關鍵，在不同的情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解題的簡潔性．同時，靈活運用線段的和、差、倍、分轉化線段之間的數量關系也是十分關鍵的一點．