Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AO=8，AB=AC，sin∠ABC=

4

5

．CD與y軸交于點(diǎn)E，且S_△COE=S_△ADE．已知經(jīng)過B，C，E三點(diǎn)的圖象是一條拋物線，求這條拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析：首先利用銳角三角函數(shù)的關(guān)系得出AB的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出BO的長(zhǎng)，再利用S_△CDB=S_△ABO得出DN的長(zhǎng)，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)得出E點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可．

解答：解：過點(diǎn)D作DN⊥BC，
∵AB=AC，AO⊥BC，
∴BO=CO，
∵sin∠ABC=

4

5

，AO=8，
∴sin∠ABC=

AO

AB

=

8

AB

=

4

5

，
∴AB=10，
BO=

102-82

=6，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：（6，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為：（-6，0），
∵S_△COE=S_△ADE，
∴S_△CDB=S_△ABO，
∴DN×BC=AO×BO，
∴DN=

AO•BO

BC

=

8×6

12

=4，
∵ND∥AO，
∴

DN

AO

=

NB

BO

=

1

2

，
∴NO=NB=3，
∴

EO

ND

=

CO

CN

，
∴

EO

4

=

6

9

，
解得：EO=

8

3

，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，-

8

3

），
∵經(jīng)過B，C，E三點(diǎn)的圖象對(duì)稱軸為y軸，
∴經(jīng)過B，C，E三點(diǎn)的解析式為：y=ax²+c，
將E點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，-

8

3

），B點(diǎn)坐標(biāo)為：（6，0）代入解析式得：

c=- 8 3 36a+c=0

，
解得：

a= 2 27 c= - 8 3

，
∴這條拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的解析式為：y=

2

27

x²-

8

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了銳角三角函數(shù)的計(jì)算、平行線的性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式等知識(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出E點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．