Question

【題目】已知AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，A是切點，BP與⊙O交于點C．

（1）如圖①，若∠P=35°，求∠ABP的度數；

（2）如圖②，若D為AP的中點，求證：直線CD是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】（1）55°；（2）證明見解析.

【解析】

(1)首先根據切線的性質判定∠BAP=90，然后利用直角三角形兩銳角互余求出∠ABP；

(2)連接OC、OD、AC，證出∠OCD=90即可，由AB是直徑，得到直角三角形ACP，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CD=AD，從而△OAD≌△OCD，得到結論.

（1）解：∵AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，

∴AB⊥AP，

∴∠BAP=90°；

又∵∠P=35°，

∴∠ABP=90°﹣35°=55°．

（2）證明：如圖，連接OC，OD、AC．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°（直徑所對的圓周角是直角），

∴∠ACP=90°；

又∵D為AP的中點，

∴AD=CD（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）；

在△OAD和△OCD中，

，

∴△OAD≌△OCD（SSS），

∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的對應角相等）；

又∵AP是⊙O的切線，A是切點，

∴AB⊥AP，

∴∠OAD=90°，

∴∠OCD=90°，即直線CD是⊙O的切線．

故答案為：（1）55°；（2）證明見解析.