Question

【題目】如圖，已知點A（1,0），B（0,3），將Rt△AOB繞點O逆時針旋轉90°，得到Rt△COD，CD的延長線，交AB于點E，連接BC，二次函數的圖象過點A、B、C.

（1）求二次函數的解析式；

（2）點P是線段BC上方拋物線上的一個動點，當∠PBC=75°時，求點P的坐標；

（3）設拋物線的對稱軸與x軸交于點F，在拋物線的對稱軸上，是否存在一點Q，使得以點Q、O、F為頂點的三角形，與△BDE相似？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y= --2x+3；（2）P（，）；（3）點Q的坐標為（1,3）、（1,）、（1,-3）、（1,-）.

【解析】分析：（1）利用旋轉的性質求出C點的坐標，再利用待定系數法求出函數的解析式即可；

（2）作PF⊥y軸，利用直角三角形的性質和二次函數上的點的特點，求解P點的坐標；

（3）利用相似三角形的判定和性質，分類討論即可求解.

詳解：(1) ∵旋轉

∴Rt△COD≌Rt△AOB

∴OC=OB=3

∴C（-3,0）

將A（1,0）、B（0,3）、C（-3,0）代入得

∴

∴y= --2x+3

(2) 作PF⊥y軸

∵OB=OC ∠BOC=90°

∴∠CBO=45°

∵∠PBC=75°

∴∠PBO=120°

∴∠PBF=60°

設BF=n，則PF=n

∴P（-n，n+3）

把點P坐標代入y= --2x+3得，

n+3=

解得n1=0，n2=

∴P（，）

(3)如圖所示

二次函數對稱軸為 x= =-1 ，

∴OF=1

∵Rt△COD≌Rt△AOB

∴∠ABO=∠DCO,∠CDO=∠BAO

∵∠CDO=∠BDE,

∴∠BDE=∠BAO

∴△BDE∽△BAO

∴

當△Q1OF∽△BDE時，

∴Q1F=3OF=3, ∴Q1（1,3）

當△OQ2F∽△BDE時，

∴Q2F=OF=, ∴Q2（1,）

根據對稱性Q3（1,-3），Q4（1,-）

綜上所述，符合要求的點Q的坐標為（1,3）、（1,）、（1,-3）、（1,-）.