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【題目】10分)已知EF分別為正方形ABCD的邊BCCD上的點,AFDE相交于點G,當EF分別為邊BCCD的中點時,有:①AF=DE②AF⊥DE成立.

試探究下列問題:

1)如圖1,若點E不是邊BC的中點,F不是邊CD的中點,且CE=DF,上述結論是否仍然成立?(請直接回答成立不成立),不需要證明)

2)如圖2,若點EF分別在CB的延長線和DC的延長線上,且CE=DF,此時,上述結論是否仍然成立?若成立,請寫出證明過程,若不成立,請說明理由;

3)如圖3,在(2)的基礎上,連接AEBF,若點MNPQ分別為AEEFFDAD的中點,請判斷四邊形MNPQ矩形、菱形、正方形中的哪一種,并證明你的結論.

【答案】1)成立;(2)成立,理由見試題解析;(3)正方形,證明見試題解析.

【解析】

試題(1)因為四邊形ABCD為正方形,CE=DF,可證△ADF≌△DCESAS),即可得到AF=DE∠DAF=∠CDE,又因為∠ADG+∠EDC=90°,即有AF⊥DE

2四邊形ABCD為正方形,CE=DF,可證△ADF≌△DCESAS),即可得到AF=DE∠E=∠F,又因為∠ADG+∠EDC=90°,即有AF⊥DE

3)設MQDE分別交AF于點GOPQDE于點H,因為點MNPQ分別為AEEFFDAD的中點,可得MQ=PN=DEPQ=MN=AFMQ∥DEPQ∥AF,然后根據AF=DE,可得四邊形MNPQ是菱形,又因為AF⊥DE即可證得四邊形MNPQ是正方形.

試題解析:(1)上述結論仍然成立,理由是:

四邊形ABCD為正方形,∴AD=DC∠BCD=∠ADC=90°,在△ADF△DCE中,∵DF=CE∠ADC=∠BCD=90°AD=CD∴△ADF≌△DCESAS),∴AF=DE∠DAF=∠CDE∵∠ADG+∠EDC=90°∴∠ADG+∠DAF=90°∴∠AGD=90°,即AF⊥DE

2)上述結論仍然成立,理由是:

四邊形ABCD為正方形,∴AD=DC∠BCD=∠ADC=90°,在△ADF△DCE中,∵DF=CE∠ADC=∠BCD=90°AD=CD∴△ADF≌△DCESAS),∴AF=DE∠E=∠F∵∠ADG+∠EDC=90°∴∠ADG+∠DAF=90°∴∠AGD=90°,即AF⊥DE

3)四邊形MNPQ是正方形.理由是:

如圖,設MQDE分別交AF于點GOPQDE于點HMNPQ分別為AEEFFDAD的中點,

∴MQ=PN=DEPQ=MN=AFMQ∥DEPQ∥AF四邊形OHQG是平行四邊形,∵AF=DE∴MQ=PQ=PN=MN四邊形MNPQ是菱形,∵AF⊥DE∴∠AOD=90°∴∠HQG=∠AOD=90°四邊形MNPQ是正方形.

練習冊系列答案
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1)將圖3中的ABC沿射線AE方向平移,使點B與點E重合,點AC分別對應點MN,按要求畫出圖形,并直接寫出平移的距離;(用含的代數式表示)

2)將圖3中的DEF繞點B逆時針方向旋轉60°,點EF分別對應點PQ,按要求畫出圖形,并直接寫出∠ABQ的度數;

3)將圖3中的ABC沿BC所在直線翻折,點A落在點G處,按要求畫出圖形,并直接寫出GE的長度.(用含的代數式表示)

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3)如圖,若圖形G的伴隨直線是,且伴隨四邊形ABCD是矩形,求點B的坐標.

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