Question

已知：A、B、C不在同一直線上．

(1)若點A、B、C均在半徑為R的⊙O上，

A、B、C如圖一，當∠A＝45°時，R＝1，求∠BOC的度數和BC的長度；

Ⅱ．如圖二，當∠A為銳角時，求證sin∠A＝；

(2)若定長線段BC的兩個端點分別在∠MAN的兩邊AM、AN(B、C均與點A不重合)滑動，如圖三，當∠MAN＝60°，BC＝2時，分別作BP⊥AM，CP⊥AN，交點為點P，試探索：在整個滑動過程中，P、A兩點的距離是否保持不變？請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)．① 　　∠BOC＝90°(同弧所對的圓周角等于其所對的圓心角的一半)； 　　由勾股定理可知BC＝＝ 　　(提示：也可延長BO或過點O作BC邊的垂線段) 　　②證明：可連接BO并延長，交圓于點E，連接EC． 　　可知EC⊥BC(直徑所對的圓周角為90°) 　　且∠E＝∠BAC(同弧所對的圓周角相等) 　　故sin∠A＝． 　　(2)保持不變． 　　可知△CQP∽△BQA，且∠AQP＝∠BQC，所以△BCQ∽△APQ； 　　即；AP＝＝(為定值)． 　　故保持不變．