Question

翻轉類的計算問題在全國各地的中考試卷中出現(xiàn)的頻率很大，因此初三（5）班聰慧的小菲同學結合2011年蘇州市數學中考卷的倒數第二題對這類問題進行了專門的研究。你能和小菲一起解決下列各問題嗎？（以下各問只要求寫出必要的計算過程和簡潔的文字說明即可。）
（1）如圖①，小菲同學把一個邊長為1的正三角形紙片（即△OAB）放在直線l₁上，OA邊與直線l₁重合，然后將三角形紙片向右翻轉一周回到初始位置，求頂點O所經過的路程；并求頂點O所經過的路線；

圖①
（2）小菲進行類比研究：如圖②，她把邊長為1的正方形紙片OABC放在直線l₂上，OA邊與直線l₂重合，然后將正方形紙片向右翻轉若干次．她提出了如下問題：

圖②
問題①：若正方形紙片OABC接上述方法翻轉一周回到初始位置，求頂點O經過的路程；
問題②：正方形紙片OABC按上述方法經過多少次旋轉，頂點O經過的路程是。
（3）①小菲又進行了進一步的拓展研究，若把這個正三角形的一邊OA與這個正方形的一邊OA重合（如圖3），然后讓這個正三角形在正方形上翻轉，直到正三角形第一次回到初始位置（即OAB的相對位置和初始時一樣），求頂點O所經過的總路程。

圖③
②若把邊長為1的正方形OABC放在邊長為1的正五邊形OABCD上翻轉（如圖④），直到正方形第一次回到初始位置，求頂點O所經過的總路程。

圖④
（4）規(guī)律總結，邊長相等的兩個正多邊形，其中一個在另一個上翻轉，當翻轉后第一次回到初始位置時，該正多邊形翻轉的次數一定是兩正多邊形邊數的___________。

Answer 1

(1)；（2），81；（3），；（4）最小公倍數.

試題分析：（1）根據正三角形的性質及弧長公式求出點A繞點B、點C旋轉的兩段弧長相加即可．
(2)①根據正方形旋轉一周的路徑，利用弧長計算公式以及扇形面積公式求出即可，
②再利用正方形紙片OABC經過4次旋轉得出旋轉路徑，進而得出 ，即可得出旋轉次數．
(3)方法同（2）；
（4）邊長相等的兩個正多邊形，其中一個在另一個上翻轉，當翻轉后第一次回到初始位置時，該正多邊形翻轉的次數一定是兩正多邊形邊數的最小公倍數.
試題解析：（1）∵點A所經過的這兩段弧所在圓的半徑為1，所對圓心角均為120度
∴點A所經過的路線長為.
（2）①頂點O經過的總路線長為：
②由①：每翻轉一周頂點O經過的總路線長為：

即翻轉20周后再翻一次，共翻81次.
（3）①每翻三次翻一周，頂點O所經過的總路線長為：
共翻四周回到初始位置，所以頂點O所經過的總路線長為:.
②每翻四次翻一周，頂點O所經過的總路線長為:
共翻5周回到初始位置，所以頂點O所經過的總路線長為：
（4）最小公倍數
考點: 1.旋轉的性質；2.等邊三角形的性質；3.正方形的性質；4.弧長的計算；