Question

【題目】如圖，拋物線與直線相交于，兩點,且拋物線經過點

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是拋物線上的一個動點(不與點A. 點B重合)，過點P作直線PD⊥x軸于點D，交直線AB于點E.當PE=2ED時，求P點坐標；

（3）點P是直線上方的拋物線上的一個動點，求的面積最大時的P點坐標.

Answer 1

【答案】（1）y=x2＋4x＋5（2）P點坐標為（2，9）或（6，7）；（3）P（，）.

【解析】

（1）先由點B在直線y＝x＋1上求出點B的坐標，再利用待定系數法求解可得；

（2）可設出P點坐標，則可表示出E、D的坐標，從而可表示出PE和ED的長，由條件可知到關于P點坐標的方程，則可求得P點坐標；

（3）連接AP,BP，根據S= S+ S=，根據二次函數性質得到最大值，即可求出P點坐標.

解：（1）∵點B（4，m）在直線y＝x＋1上，

∴m＝4＋1＝5，

∴B（4，5），

把A、B、C三點坐標代入拋物線解析式可得

，

解得

，

∴拋物線解析式為y＝x2＋4x＋5；

（2）設P（x，x2＋4x＋5），則E（x，x＋1），D（x，0），

則PE＝|x2＋4x＋5（x＋1）|＝|x2＋3x＋4|，DE＝|x＋1|，

∵PE＝2ED，

∴|x2＋3x＋4|＝2|x＋1|，

當x2＋3x＋4＝2（x＋1）時，解得x＝1或x＝2，但當x＝1時，P與A重合不合題意，舍去，

∴P（2，9）；

當x2＋3x＋4＝2（x＋1）時，解得x＝1或x＝6，但當x＝1時，P與A重合不合題意，舍去，

∴P（6，7）；

綜上可知P點坐標為（2，9）或（6，7）；

（3）∵點P是直線上方的拋物線上的一個動點，

設（x，x2＋4x＋5），則E（x，x＋1），D（x，0），

則PE＝x2＋4x＋5（x＋1）＝x2＋3x＋4，

∴= S+ S==

=

∴當x=，的面積最大

把x=代入y＝x2＋4x＋5，解得y=

故P（，）.