Question

A、觀察下列圖形的變化過程，解答以下問題：

如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一動點（D點不與B、C兩點重合）．DE∥AC交AB于E點，DF∥AB交AC于F點．
（1）試探索AD滿足什么條件時，四邊形AEDF為菱形，并說明理由；
（2）在（1）的條件下，△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF為正方形．為什么？

B、已知：如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點，連接AD，取AD的中點E，過點A作BC的平行線與CE的延長線交于點F，連接DF．
（1）求證：AF=DC；
（2）若AD=CF，試判斷四邊形AFDC是什么樣的四邊形？并證明你的結論．

Answer 1

分析：A、（1）當AD平分∠BAC時，四邊形AEDF為菱形．可先證明四邊形AEDF為平行四邊形，再證明一組鄰邊相等，即可證明四邊形AEDF為菱形；
（2）當∠BAC=90°時，菱形AEDF是正方形．因為有一個角是直角的菱形是正方形．
B、（1）因為AF∥DC，E為AD的中點，即可根據AAS證明△AEF≌△DEC，故有AF=DC；
（2）由（1）知，AF=DC且AF∥DC，可得四邊形AFDC是平行四邊形，又因為AD=CF，故可根據對角線相等的平行四邊形是矩形進行判定．

解答：A、解：（1）當AD平分∠BAC時，四邊形AEDF為菱形．
∵AE∥DF，DE∥AF，
∴四邊形AEDF為平行四邊形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD
又∵∠FAD=∠ADE，
∴∠DAE=∠ADE，
∴AE=DE，
∴平行四邊形AEDF為菱形；

（2）當∠BAC=90°時，菱形AEDF是正方形．因為有一個角是直角的菱形是正方形．

B、（1）證明：∵AF∥DC，
∴∠AFE=∠DCE，
又∵∠AEF=∠DEC（對頂角相等），AE=DE（E為AD的中點），
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=DC；

（2）矩形．理由：
由（1），有AF=DC且AF∥DC，
∴四邊形AFDC是平行四邊形，
又∵AD=CF，
∴四邊形AFDC是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）．

點評：本題考查了菱形和正方形的判定以及矩形的判定和全等三角形的判定與性質．要熟知這些判定定理才會靈活運用，根據性質才能得到需要的相等關系．