Question

（2013•黃州區(qū)二模）如圖，己知點F是正方形ABCD的邊CD的中點，BE⊥AF于E，點G，H在直線AF上，且AE=EG=GH．連CG和CH，則下列結(jié)論：①tan∠ABE=

1

2

；②∠CGH=45°；③∠DEH=45°；④∠GCH=60°，其中正確的是（　　）

A．①②③

B．①②④

C．①②③④

D．①③④

Answer 1

分析：根據(jù)同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF，再根據(jù)銳角的正切值列式，判斷出①正確；連接BG，判斷出BE垂直平分線段AG，再根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AB=BG，然后求出∠ABE=∠GBE，BG=BC，過點B作BK⊥CG于K，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得∠CBK=∠GBK，然后求出∠EBK，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理求出∠EGK=135°，然后根據(jù)鄰補角的定義求出∠CGH=45°，判斷出②正確；連接DG，利用∠ABE的正切求出BE=2AE，然后求出AG=BE，再利用“邊角邊”證明△ABE和△DAG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DG=AE，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠DGA=∠AEB=90°，再求出DG=EG，判斷出△DEG是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠DEH=45°，判斷出③正確；連接DH，判斷出DG垂直平分EH，求出∠GDH=∠GDE=45°，根據(jù)同角的余角相等求出∠GDF=∠DAF，然后求出GF=

1

2

DG，再求出GF=FH，然后根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形CHDG是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對角線的可得∠GCH=∠GDH=45°，判斷出④錯誤．

解答：解：∵BE⊥AF，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵∠DAF+∠BAE=∠BAD=90°，
∴∠ABE=∠DAF，
∵F是CD的中點，
∴DF=FC=

1

2

CD，
∴tan∠ABE=tan∠DAF=

DF

AD

=

1

2

，故①正確；

連接BG，∵AE=EG，BE⊥AF，
∴BE垂直平分線段AG，
∴AB=BG，∠ABE=∠GBE，
∵AB=BC，
∴BG=BC，
過點B作BK⊥CG于K，
則∠CBK=∠GBK，
∴∠EBK=∠EBG+∠GBK=

1

2

∠ABC=

1

2

×90°=45°，
在四邊形BKGE中，∠EGK=360°-90°×2-45°=135°，
∴∠CGH=180°-∠EGK=180°-135°=45°，故②正確；

連接DG，∵tan∠ABE=

AE

BE

=

1

2

，
∴BE=2AE，
∵AG=AE+EG=2AE，
∴AG=BE，
在△ABE和△DAG中，

AD=AB ∠BAE=∠DAF AG=BE

，
∴△ABE≌△DAG（SAS），
∴DG=AE，∠DGA=∠AEB=90°，
∵AE=EG，
∴DG=EG，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴∠DEH=45°，故③正確；

連接DH，∵EG=GH，
∴DG垂直平分EH，
∴∠GDH=∠GDE=45°，
∵∠DGA=90°，
∴∠GDF+∠DFG=90°，
又∵∠DFG+∠DAF=180°-90°=90°，
∴∠GDF=∠DAF，
∴tan∠GDF=

GF

DG

=

1

2

，
∴GF=

1

2

DG，
∵DG=EG=GH，
∴GF=

1

2

GH，
∴GF=FH，
又∵F是CD的中點，
∴DF=FC=

1

2

CD，
∴四邊形CHDG是平行四邊形，
∴∠GCH=∠GDH=45°，故④錯誤；
綜上所述，正確的有①②③．
故選A．

點評：本題是四邊形綜合題型，主要利用了正方形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，同角的余角相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出等腰三角形和全等三角形以及平行四邊形是解題的關(guān)鍵．