Question

如圖直線分別交x軸、y軸于點A和B，點P（t，0）是x軸上一動點，P、Q兩點關于直線AB軸對稱，PQ交AB于點M，作QH⊥x軸于點H．
（1）求tan∠OAB的值；
（2）當QH=2時，求P的坐標；
（3）連接OQ，是否存在t的值，使△OQH與△APM相似？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直線解析式求出點A、B的坐標，從而得到OA、OB的長度，再根據銳角的正切值等于對邊比鄰邊列式計算即可得解；
（2）根據勾股定理求出AB的長度，再根據∠QPH的正弦等于∠OAB的余弦求出QP的長，然后根據軸對稱的性質求出PM的長，再利用∠OAB的正弦值求出AP的長，再分點P在點A的左邊與右邊兩種情況求出OP的長度，即可得到點P的坐標；
（3）分點P在點A的左邊與右邊兩種情況，根據點P的坐標表示出AP的長，再利用∠OAB的正弦值表示出PM，根據軸對稱的性質表示出PQ，利用∠QPH的正弦表示出QH，余弦表示出PH，從而可以表示出OH，再根據兩邊對應成比例，夾角相等，兩三角形相似，分兩種情況列式求解即可．
解答：解：（1）令y=0，則-x+2=0，解得x=4，
令x=0，則y=2，
所以，點A（4，0），B（0，2），
所以，OA=4，OB=2，
tan∠OAB===；

（2）根據勾股定理，AB===2，
∵P、Q兩點關于直線AB軸對稱，
∴∠OAB+∠QPH=90°，
∴sin∠QPH=cos∠OAB==，
cos∠QPH=sin∠OAB==，
∵QH⊥x軸，QH=2，
∴PQ=QH÷sin∠QPH=2÷=，
∵P、Q兩點關于直線AB軸對稱，PQ交AB于點M，
∴PM=PQ=，
∴AP=PM÷sin∠OAB=÷=，
①當點P在點A的左邊時，OP=OA-AP=4-=，
此時，點P的坐標是（，0），
②當點P在點A的右邊時，OP=OA+AP=4+=，
此時，點P的坐標是（，0）；
故，點P的坐標為（，0）或（，0）；

（3）①當點P在點A的左邊時，
∵點P的坐標為（t，0），
∴AP=4-t，PM=AP•sin∠OAB=（4-t），
∵P、Q兩點關于直線AB軸對稱，PQ交AB于點M，
∴PQ=2PM=（4-t），
QH=PQ•sin∠QPH=（4-t）×=，
PH=PQ•cos∠QPH=（4-t）×=，
當點P在點O右側時，OH=OP+PH=t+=，
∵△OQH與△APM相似，
∴==tan∠OAB或==tan∠OAB，
即=或=，
解得t=0或t=；
當點P在點O左側時，OH=OP-PH=（-t）-=-，
∵△OQH與△APM相似，
∴==tan∠OAB或==tan∠OAB，
即=或=，
解得t=-16或t=8（舍去）；
②當點P在點A的左邊時，
∵點P的坐標為（t，0），
∴AP=t-4，PM=AP•sin∠OAB=（t-4），
∵P、Q兩點關于直線AB軸對稱，PQ交AB于點M，
∴PQ=2PM=（t-4），
QH=PQ•sin∠QPH=（t-4）×=，
PH=PQ•cos∠QPH=（t-4）×=，
∴OH=OP-PH=t-=，
∵△OQH與△APM相似，
∴==tan∠OAB或==tan∠OAB，
即=或=，
解得t=-16（舍去）或t=8，
綜上所述，存在t的值，t=0或t=或t=-16或t=8，使△OQH與△APM相似．
點評：本題是對一次函數的綜合考查，主要涉及一次函數與坐標軸的交點，銳角三角形函數，相似三角形對應邊成比例，解直角三角形，（2）要分點P在點A的左右兩邊兩種情況討論，（3）根據點P的位置的不同，分別列出OH的不同表示是解題的關鍵，還要根據相似三角形對應邊不明確需要分情況討論．