Question

如圖，在平面直角坐標系中，函數y=2x+12的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點．過點A的直線交y軸正半軸于點C，且點C為線段OB的中點．
（1）求直線AC的表達式；
（2）如果四邊形ACPB是平行四邊形，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據直線AB的解析式求得點A、B的坐標，然后由已知條件“點C為線段OB的中點”求得點C的坐標；最后，利用待定系數法求直線AC的關系式；
（2）解法一：如圖1，作輔助線PQ構建全等三角形△PQB≌△AOC，然后根據全等三角形的對應邊相等、線段間的和差關系推知PQ、OQ的長度，即點P的坐標；
解法二：如圖2，根據平行四邊形的對邊相互平行的性質，利用待定系數法求得直線PC的方程y=2x+6，故設點P（x，2x+6）．然后兩點間的距離公式列出關于x的方程，通過解方程即可求得x的值．

解答：解：（1）∵函數y=2x+12的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點．
∴A（-6，0），B（0，12）．
∵點C為線段OB的中點．∴C（0，6）．
設直線AC的表達式為y=kx+b．
∴

-6k+b=0 b=6

，
解得：

k=1 b=6

，
故直線AC的表達式為y=x+6．

（2）解法一：∵四邊形ACPB是平行四邊形．
∴PC=AB且PC∥AB，PB=AC且PB∥AC．
如圖1，過點P作y軸的垂線，垂足為Q．
可證得△PQB≌△AOC．
∴PQ=AO=6，BQ=CO=6．
∴QO=QB+OB=18．
∴P（6，18）．
解法二：如圖2，∵四邊形ACPB是平行四邊形．
∴PC∥AB．
∵C（0，6）．
∴直線CP的解析式為y=2x+6．
設點P（x，2x+6）．
由PC=AB=6

5

，可得x=±6（負值舍去）．
∴P（6，18）．

點評：本題考查了一次函數綜合題．解答（2）題時，注意“數形結合”數學思想的應用．