Question

一次函數(shù)y=-

1

2

x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（4，0），與x軸交于點(diǎn)A．P為x正半軸上一點(diǎn)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（t，0），在平面直角坐標(biāo)系中作正方形OPMN和正方形PBEF（字母均按逆時(shí)針順序），當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)時(shí)兩個(gè)正方形也隨之發(fā)生變化如圖所示，直線(xiàn)EN交x軸于D．

（1）求b的值；
（2）t為何值時(shí)，AB∥NE；
（3）t為何值時(shí)，△BED與△OAB相似．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入已知一次函數(shù)的解析式，列出關(guān)于b的方程，通過(guò)解方程即可求得b的值；
（2）如3，由AB∥NE，就可以得出AB與NE的K值相等，設(shè)NE的解析式為y=-0.5x+m，由P（t，0），就有N（0，t），E（4，4-t），根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出t的值；
（3）首先由AB∥NE時(shí)，就有△AOB∽△EBD，t值由（2）可以知道，如圖2，當(dāng)△AOB∽△DBE時(shí)和△AOB∽△EBD時(shí)，分別可以求出t值．

解答：解：（1）∵y=-

1

2

x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（4，0），
∴0=-2+b，
∴b=2；

（2）∵AB∥NE，
∴直線(xiàn)AB的解析式與直線(xiàn)NE的解析式的K值相等．
∵四邊形OPMN和四邊形PBEF是正方形，
∴ON=0P，PB=BE．
∵P（t，0），
∴OP=t，PB=4-t，
∴ON=t，BE=4-t，
∴N（0，t），E（4，4-t）．
設(shè)NE的解析式為y=-0.5x+m，由圖象得：

t=m 4-t=-2+m

，
解得：

m=3 t=3

，
∴t的值為3時(shí)，AB∥NE；

（3）當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，
∵t=3時(shí)，AB∥NE，
∴△AOB∽△EBD，
t=3；
當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，
如圖2，此時(shí)PB=BE=t-4，
∵BE∥ON，
∴△NAD∽△EBD，
∴

NO

OD

=

BE

BD

即：

4

4-BD

=

t-4

BD

解得：BD=

4t-16

t

當(dāng)△AOB∽△DBE

AO

BD

=

OB

BE

即：

2

4t-16 t

=

4

t-4

解得t=4（此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，舍去）或t=8；
當(dāng)△AOB∽△EBD時(shí)，

AO

EB

=

OB

BD

即：

2

t-4

=

4

4t-16 t

解得：t=2，或t=4（此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，舍去）
∴t=2或t=3或t=8時(shí)，△BED與△OAB相似．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題．其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)．解答（3）題時(shí)，注意分類(lèi)討論，以防漏解．