Question

在平面之間坐標系中，一次函數y=--

1

2

x+2的圖象與x軸y軸分別相交于A，B兩點，在第一象限內是否存在點P，使得以點P，O，B為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，請寫出所以符合條件的點P的坐標．

Answer 1

分析：首先求得A、B的坐標，然后分O，B，P分別是直角頂點三種情況討論，每種情況再分那條邊與OB是對應邊兩種情況進行討論，即可求解．

解答：解：在y=-

1

2

x+2中，令x=0，解得：y=2，則B的坐標是（0，2）；
在y=--

1

2

x+2中令y=0，解得：x=4，則A的坐標是（4，0）．
當O是直角頂點時，P一定在x軸上，與△AOB重合，不符合題意；
當B是直角頂點時，當△OPB的邊OB與△AOB的邊BO是對應邊時，即△AOB∽△PBO時，P的坐標是（4，2）；
當△AOB∽△OBP時，

OA

OB

=

OB

BP

，即

4

2

=

2

BP

，解得：BP=1，則P的坐標是（1，2）；
當P是直角頂點，當△AOB∽△OPB時，OP是直角△AOB斜邊AB上的高，如圖1，
則AB=

OA2+OB2

=

22+42

=2

5

，
OB²=PB•AB，則BP=

OB2

AB

=

4

2 5

=

2 5

5

，
∴AP=AB-BP=2

5

-

2 5

5

=

8 5

5

，
∴OP=

AP•PB

=

4 5

5

，
過P作PC⊥x軸于點C．
則△PCO∽△AOB，
∴

OC

OB

=

PC

OA

=

OP

AB

=

4 5 5

2 5

=

2

5

，
∴OC=

2

5

OB=

4

5

，PC=

2

5

OA=

8

5

，則P的坐標是（

4

5

，

8

5

）；
當△AOB∽△BPO時，如圖2，則

OP

OB

=

OB

AB

，即

OP

2

=

2

2 5

，解得：OP=

2 5

5

，
過P作PD⊥x軸，則△OPD∽△ABO，
∴

PD

OB

=

OD

OA

=

OP

AB

=

2 5 5

2 5

=

1

5

，
則PD=

1

5

OB=0.4，OD=

1

5

OA=0.8，點P的坐標是（2，1）．
故P的坐標是：（4，2）或（1，2）或（

4

5

，

8

5

）或（0.8，0.4）．

點評：本題考查了直角三角形相似的判定與性質，正確進行討論是關鍵．