Question

在平面之間坐標系中，一次函數y=-的圖象與x軸y軸分別相交于A，B兩點，在第一象限內是否存在點P，使得以點P，O，B為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，請寫出所以符合條件的點P的坐標．

Answer 1

解：在y=中，令x=0，解得：y=2，則B的坐標是（0，2）；
在y=-中令y=0，解得：x=4，則A的坐標是（4，0）．
當O是直角頂點時，P一定在x軸上，與△AOB重合，不符合題意；
當B是直角頂點時，當△OPB的邊OB與△AOB的邊BO是對應邊時，即△AOB∽△PBO時，P的坐標是（4，2）；
當△AOB∽△OBP時，=，即=，解得：BP=1，則P的坐標是（1，2）；
當P是直角頂點，當△AOB∽△OPB時，OP是直角△AOB斜邊AB上的高，如圖1，
則AB===2，
OB²=PB•AB，則BP===，
∴AP=AB-BP=2-=，
∴OP==，
過P作PC⊥x軸于點C．
則△PCO∽△AOB，
∴====，
∴OC=OB=，PC=OA=，則P的坐標是（，）；
當△AOB∽△BPO時，如圖2，則=，即=，解得：OP=，
過P作PD⊥x軸，則△OPD∽△ABO，
∴====，
則PD=OB=0.4，OD=OA=0.8，點P的坐標是（2，1）．
故P的坐標是：（4，2）或（1，2）或（，）或（0.8，0.4）．
分析：首先求得A、B的坐標，然后分O，B，P分別是直角頂點三種情況討論，每種情況再分那條邊與OB是對應邊兩種情況進行討論，即可求解．
點評：本題考查了直角三角形相似的判定與性質，正確進行討論是關鍵．