Question

觀察下列等式：
第一行　　 2²-1²=4-1=3
第二行　　 3²-2²=9-4=5
第三行　　 4²-3²=16-9=7
第四行　　 5²-4²=25-16=9
…
（1）請你寫出第五行的等式為________．
（2）按照上述規律，第n行的等式為________．
（3）請你利用已學過的知識對你得到的等式進行證明．

Answer 1

解：（1）把原等式變形得：
第一行 （1+1）²-1²=4-1=3=2×1+1；
第二行 （2+1）²-2²=9-4=5=2×2+1；
第三行 （3+1）²-3²=16-9=7=2×3+1；
第四行 （4+1）²-4²=25-16=9=2×4+1；
則第五行的等式為（5+1）²-5²=36-25=11=2×5+1，即6²-5²=36-25=11，
（2）按照上述規律，第n行的等式為：（n+1）²-n²=2n+1，
（3）證明：等式左邊=[（n+1）+n][（n+1）-n]=2n+1=右邊，得證．
故答案為：（1）6²-5²=36-25=11；（2）（n+1）²-n²=2n+1
分析：（1）觀察原題中的等式發現，被減數的底數比行數多1，且減數的底數等于行數，而計算結果是從3開始的奇數，從而得到第5行的等式；
（2）根據上述規律，同理猜想得到第n行的等式；
（3）利用平方差公式化簡（2）的等式左邊，合并后得到與等式的右邊相等，得證．
點評：此題考查了平方差公式的靈活運用，考查了學生提出猜想，證明猜想，歸納總結得出結論的能力，是一道規律型的基礎題．