Question

如圖，正方形ABCD的邊長為1，點E是AD邊上的動點，從點A沿AD向D運動，以BE為邊，在BE的上方作正方形BEFG，連接CG．請探究：

（1）線段AE與CG是否相等？請說明理由．

（2）若設，，當取何值時，最大？

（3）連接BH，當點E運動到AD的何位置時，△BEH∽△BAE？

Answer 1

（1）理由見解析；

（2）當時，有最大值為；

（3）當E點是AD的中點時，△BEH∽△BAE

【解析】

試題分析：（1）AE=CG，要證結論，必證△ABE≌△CBG，由正方形的性質很快確定∠3=∠4，又AB=BC，BE=BG，符合SAS即證．

（2）先證△ABE∽△DEH，所以，即可求出函數解析式y=-x2+x，繼而求出最值．

（3）要使△BEH∽△BAE，需，又因為△ABE∽△DEH，所以，即，所以當E點是AD的中點時，△BEH∽△BAE．

試題解析：（1）理由：

正方形ABCD和正方形BEFG中

∴

又

∴△ABE≌△CBG

∴ ；

（2）∵正方形ABCD和正方形BEFG

∴

∴

∴

又∵

∴△ABE∽△DEH

∴

∴

∴

當時，有最大值為；

（3）當E點是AD的中點時，△BEH∽△BAE

理由：∵ E是AD中點

∴

∴

又∵△ABE∽△DEH

∴

又∵

∴

又

∴ △BEH∽△BAE

考點：1.二次函數的綜合應用2.正方形的性質3.相似三角形的判定