Question

設x₁，x₂是關于x的方程x²-4x+k+1=0的兩個實數根．試問：是否存在實數k，使得x₁•x₂＞x₁+x₂成立？請說明理由．
（溫馨提示：關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），當b²-4ac≥0時，則它的兩個實數根是：x1，2=

-b± b2-4ac

2a

）

Answer 1

分析：方程有兩個實數根，必須滿足△=b²-4ac≥0，從而求出實數k的取值范圍，再利用根與系數的關系，找出其矛盾，證明出不存在符合條件的實數k．

解答：解：∵方程有實數根，
∴b²-4ac≥0，
∴（-4）²-4（k+1）≥0，
即k≤3．
解法一：又∵x=

4± (-4)2-4(k+1)

2

=2±

3-k

，
∴x₁+x₂=（2+

3-k

）+（2-

3-k

）=4．
x₁•x₂=（2+

3-k

）•（2-

3-k

）=k+1．
若x₁•x₂＞x₁+x₂，
即k+1＞4，∴k＞3．
而這與k≤3相矛盾，
因此，不存在實數k，使得x₁•x₂＞x₁+x₂成立．
解法二：又∵x₁+x₂=-

b

a

=4，
x₁•x₂=

c

a

=k+1（以下同解法一）．

點評：一元二次方程ax²+bx+c=0（a，b，c為常數，且a≠0），根與系數的關系是：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，本題運用解法二更簡便．