Question

如圖，在△ABC中，CH是外角∠ACD的平分線，BH是∠ABC的平分線．
（1）求證：∠A=2∠H；
（2）若△ABC中，AB=AC，當∠A等于多少度時，AB∥HC．

Answer 1

（1）證明：∵BH、CH分別是∠ABC、∠ACD的平分線，
∴∠ABC=2∠1，∠ACD=2∠2，
∵∠HCD是△BCH的外角，
∴∠H=∠HCD-∠HBC=∠2-∠1，
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠A=∠ACD-∠ABC=2∠2-2∠1=2（∠2-∠1）=2∠H；

（2）設∠A=x由（1）得∠H=

x

2

，
∵AB=AC，
∴∠ABC=

180°-x

2

，
∵BH是∠ABC的平分線，
∴∠1=

180°-x

4

，
∵∠HCD是△BCH的外角，
∴∠2=∠1+∠H=

180°-x

4

+

x

2

，
要使得AB∥CH，則必須滿足∠ABC=∠2
∴

180°-x

2

=

180°-x

4

+

x

2

，解得x=60°
∴當∠A等于60°時，AB∥HC．