Question

若⊙O₁與⊙O₂相交于A，B兩點，⊙O₁與⊙O₂半徑分別為2和

2

，公共弦長為2，則∠O₁AO₂的度數為（　　）

A．105°

B．75°或15°

C．105°或15°

D．15°

Answer 1

分析：連接AB、O₁O₂，兩線段交于點C，由垂徑定理可得：O₁O₂⊥AB且平分AB，再解Rt△O₁CA、Rt△O₂CA，可得∠O₁AC、∠O₂AC，即可求得∠O₁AO₂的度數．

解答：解：連接AB、O₁O₂，兩線段交于點C，如下圖所示：
①如圖1，∵AB為兩圓的交線，O₁O₂為兩圓圓心的連線，
∴O₁O₂⊥AB且平分AB；
∵已知O₁A=2，O₂A=

2

，AB=2，
∴在Rt△O₁CA中，cos∠O₁AC=

1

2

，
∴∠O₁AC=60°；
在Rt△O₂CA中，cos∠O₂AC=

2

2

，
∴∠O₂AC=45°，
∴∠O₁AO₂=∠O₁AC+∠O₂AC=105°，
②如圖2所示：
同理可得：∴∠O₁AO₂=∠O₁AC-∠O₂AC=15°，
綜上所述，∠O₁AO₂的度數為105°或15°．
故選C．

點評：本題主要考查了相交圓的性質及直角三角形的性質．注意要分類討論，以防漏解．